Index 3-Roues ] Remonter d'un niveau ] 4.1AnalyseVisuelleSimpleStabilité ] 4.2LogiqueDerrièreAnalysesMathématiques ] [ 4.3Stabilité3RouesTractionAvant ] 4.4Stabilité3RouesMoteurTractionArrière ] 4.5RésuméMargesSécurité ]

 

4.3 Stabilité contre le renversement des 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices:

La présente section 4.3 expose d'abord le développement mathématique des calculs de marge de sécurité contre le renversement dans le cas des 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices.
Elle expose ensuite le développement mathématique des calculs de marge de sécurité contre le 'renversement vers l'avant' ou piquage du nez en freinage maximal.

Ces développements mathématiques reprennent et vont plus loin que celui présenté dans le document:
"Evaluation of Electric and Hybrid 3-Wheeled Vehicles for Handling and Stability", Paul G. Van Valkenberg, Richard H, Klein, Henry T. Szostak, System Technology Inc. 13766 South Hawthorne Boulevard, Hawthorne, CA 90250, Contract No. DOT HS-9-02309, Sept 1981, 115 pages.

En particulier, le développement de Valkenburgh-Klein-Szostak ci-dessus ne considère pas le phénomène de Glissement de la Roue Avant Interne (GRAI) du cas des 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices. En effet, si un 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices accélère en même temps qu'il tourne, la roue avant interne à la courbe sera allégée à cause du transfert de poids vers la roue avant extérieure à la courbe (dû à l'accélération latérale) et à cause du transfert de poids vers la roue arrière (dû à l'accélération longitudinale). Donc la roue avant interne à la courbe ne pourra pas supporter des accélérations élevées, ce qui réduira les chances de renverser le 3-Roues. La marge de sécurité contre le renversement de ce 3-Roues sera donc plus élevée en réalité que ce que prévoient les calculs de Valkenburgh-Klein-Szostak ci-dessus.

 

A) Courbe de (Ay/g)max en fonction de (Ax/g), au-delà de laquelle il y a renversement:

Considérant l'illustration et les variables ci-dessous:

De même que la variable:

PVehiOccu(J) = Poids de l'ensemble Véhicule-Occupants, dans le cas J, soit avec passagers dont le dos se penche ou non dans les courbes et en considérant:
- un seul passager du 5ième percentile de femelle de la population américaine,
- un seul passager du 50ième percentile de mâle de la population américaine,
- ou deux passagers du 90ième percentile de mâles de la population américaine.

On a selon les pages 30 à 32 du document de Valkenberg:

Force Latérale sur le CG = PVehiOccu(J) x (Ay/g)
Force Logitudinale sur le CG = PVehiOccu(J) x (Ax/g)

Donc les forces perpendiculaires à l'axe de renversement (en trait pointillé sur l'illustration) sont données par:

(Force Latérale) x COS(Gamma) + (Force Longitudinale) x SIN(Gamma) =
PVehiOccu(J) x (Ay/g) x (EmpattementL / (HYP.)) + PVehiOccu(J) x (Ax/g) x ((VoieT/2) / (HYP.))

D'où le moment tendant à renverser le véhicule:

Moment de Renversement = [ PVehiOccu(J) x (Ay/g) x (EmpattementL / (HYP.)) + PVehiOccu(J) x
(Ax/g) x ((VoieT/2) / (HYP.)) ] x ZVehiOccu(J)

Et le moment de retenue par le poids:

Moment de Retenue = PVehiOccu(J) x C

Avec:

C / (EmpattementL + XVehiOccu(J)) = SIN(Gamma) = ((VoieT/2) / (HYP.))

De sorte que:

Moment de Retenue = PVehiOccu(J) x [ (EmpattementL + XVehiOccu(J)) x ((VoieT/2) / (HYP.)) ]

La condition limite au-delà de laquelle il y a renversement, a lieu lorsque les moments de retenue et de renversement sont égaux. Si on élimine immédiatement PVehiOccu(J) et (HYP.), des deux côtés de l'équation, on obtient:

(Ay/g) x EmpattementL x ZVehiOccu(J) + (Ax/g) x (VoieT/2) x ZVehiOccu(J) =
(EmpattementL + XVehiOccu(J)) x (VoieT/2)

D'où:

(Ay/g)max = (VoieT/2) * (EmpattementL - XVehiOccu(J)) / EmpattementL / ZVehiOccu(J) -
(Ax/g) * (VoieT/2) / EmpattementL

Dans le cas particulier où (Ax/g) est nulle et remplacée par une réduction de 10% de (Ay/g)max, pour réaliser une évaluation pouvant être comparée à celle de Valkenburg, pages 35 - 36, on utilise l'équation suivante:

(Ay/g)max = [ (VoieT/2) * (EmpattementL + XVehiOccu(J)) / EmpattementL / ZVehiOccu(J) ] - 0,1

Dans le cas où (Ax/g) n'est pas nulle, (Ay/g)max peut être tracée en fonction de (Ax/g) comme sur le graphique ci-dessous. Sur ce graphique, les axes X et Y sont inversés pour être compatibles avec Valkenburgh-Klein-Szostak, où c'étaient les freinages qui étaient étudiés et placés à la verticale au dessus de l'axe horizontal (des accélérations latérales Ay/g). Donc ici, les accélérations sont à la verticale, mais vers le bas et l'équation ci-dessus donne alors une ligne droite au delà de laquelle il y a renversement. Cette ligne est à droite en bleu sur le graphique ci-dessous et la zone plus à droite est hachurée pour signifier qu'au delà de cette ligne, il y a renversement du véhicule, qui est à éviter. Il s'agit ici du cas concret du 3-Roues Coop-2000 à deux roues avant motrices-directrices et deux passagers mâles américains du 95ième percentile, assis à califourchon (3-Roues présenté à la section précédente 3. Configurations possibles et exemples de ce nouveau 3-Roues) :

Noter que le graphique ci-dessus ne fait qu'illustrer les calculs présentés dans la présente section 4.3 et que les graphiques présentés à la seconde section suivante 4.5 Résumé des calculs de marges de sécurité, sont plus complets.

 

B) Courbe de (Ay/g) max provenant des pneus, selon l'ellipse de Valkenburg-Klein-Szostak:

Selon Valkenburg-Klein-Szostak, page 60, les accélérations latérales et longitudinales maximales que peuvent fournir les pneus sont:

(Ax/G) max = 0,85 Si (Ay/G) =0
(Ay/G) max = 0,75 Si (Ax/G) =0

Et la figure 27 de la page 61 suggère que ces deux accélérations suivent la courbe d'une ellipse.

Noter que, selon "Race Car Vehicle Dynamics", William F. Milliken, Douglas L. Milliken, SAE International, SAE R-146, 1995, pages 25, 26, 27 et 76, ces valeurs seraient pour un pneu Goodyear Eagle GT-S (Shaved for racing), d'environ 0,97 à 1.122g dépendant de la charge verticale (Moins il est chargé et plus le coefficient de friction est élevé). Et selon la page 58, elles obéissent à un "Friction circle diagram".

On peut ainsi considérer que, dans le cas le plus dangereux de renversement où les masses du véhicule sont parfaitement balancées en tout temps sur les trois roues, les accélérations longitudinales et latérales obéissent à l'équation d'une ellipse du type:

(Ay/g)^2 / (CfY)^2 + (Ax/g)^2 / (CfX)^2 = 1

Où:

Cfx = Coefficient de friction dans le sens de la rotation du pneu
Cfy = Coefficient de friction transversalement à la rotation du pneu

D'où:

(Ay/g) = RACINE[ (1 - (Ax/g)^2/(CfX)^2) * (CfY)^2 ]

Ou:

(Ay/g) = (CfY) * RACINE[ 1 - (Ax/g)^2/(CfX)^2 ]

Cette courbe en forme d'ellipse (Ay/g) en fonction des (Ax/g), apparaît sur le graphique ci-dessus en couleur rouge.

 

C) Courbe de (Ay/g) max provenant des pneus, suivant le critère du GRAI (Glissement de la Roue Avant Interne) pour un 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices:

Dans le cas d'un véhicule à traction avant, ce sont les pneus avant qui dérapent avant le pneu arrière, parce que les pneus avant sont plus sollicités que le pneu arrière: Ils doivent 'tirer' en plus de 'diriger'. On ne considérera donc que la capacité des pneus avant.

À cause de la capacité "elliptique" des pneus, on arrive à une équation qui doit être résolus pour faire apparaître la Courbe de (Ax/g) max  en fonction de (Ay/g) max provenant des pneus, suivant le critère du GRAI (Glissement de la Roue Avant Interne) pour un 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices, qui apparaît en traits discontinus noirs sur le graphique ci-haut.

D) Accélération maximale en ligne droite, Ax/g max:

Elle s'obtient dans le cas particulier où (Ay/g) est nulle.

Dans le cas concret du 3-Roues Coop-2000, cette accélération longitudinale maximale est potentiellement de:

- 0,573g dans le cas avec un seul passager femelle du 5ième percentile et réservoir plein,
- 0,555g dans le cas avec un seul passager mâle du 50ième percentile et réservoir plein,
- 0,493g dans le cas avec deux passagers mâles du 90ième percentile et réservoir plein.

Ces accélérations sont évidemment faibles par rapport à celle d'une moto sportive 'bombe' à deux roues, qui s'approche de 1,0g. Elles sont aussi plus faibles que celle des autos à propulsion arrière comme la Corvette, où elles sont de l'ordre de 0,55.

Par contre, il faut se rappeler que les coefficients de friction utilisés ( CfX = 0,85 et CfY = 0,75 ) correspondent à ceux des autos de tourisme 'ordinaires' et sont nettement plus faibles que ceux des motos sportives (De l'ordre de CfX = CfY = 1,0). De plus, dans le cas du conducteur seul femelle du 5ième percentile et du conducteur seul mâle du 50ième percentile, ces accélérations sont tout de même plus élevées que celles atteignables avec les autos à traction avant comme la Volkswagen Golf ou la Honda Civic, pour lesquelles ces accélérations maximales sont de l'ordre de 0,45g. Aussi, ce Coop-2000 a été fabriqué il y a plus de 25 ans et peut très bien être amélioré.

On pourrait aussi croire que ces accélérations maximales sont largement plus faible que celle d'un 3-Roues à moteur arrière et propulsion arrière comme le  Scorpion, le T-Rex, le Cyclone ou le G-Max (3-Roues présenté à la section précédente 1.3 Les 3-Roues à une seule roue arrière de moto conventionnelle). Mais ce n'est pas le cas tel qu'on peut le voir à la section suivante 4.4 Stabilité contre le renversement des 3-Roues à moteur arrière et roue arrière motrice. Sans connaître les paramètres exacts de ces 3-Roues, une estimation de leur accélération maximale n'est que de 0,497g avec le conducteur seul et avec des pneus 'ordinaires' comme ceux du Coop-2000. Cette accélération s'élève à 0.603g avec des pneus équivalents à ceux des motos sportives. Elle est donc nettement plus faible que celle (de l'ordre de 1,0g) d'une moto sportive 'bombe', où presque tout le poids de l'ensemble moto-conducteur est transféré sur la roue arrière lors d'une accélération en ligne droite.

 

E) Calcul de la marge de sécurité contre le renversement:

Considérant le graphique ci-dessous:

À chaque points de la Courbe limite de capacité des pneus correspond un point GR et un couple de valeurs Ax/g et Ay/g qui sont maximales, soit AxGRAI et AyGRAI (dans le cas d' un 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices, où il y a Glissement de la Roue Avant Interne à la courbe).

La longueur ci-dessus de O à GR (ou O-GR) donne donc pour chaque combinaison de valeurs maximales AxGRAI et AyGRAI, l'accélération maximale pouvant être fournie dans une certaine direction correspondant au rapport entre AxGRAI et AyGRAI.

Ainsi, la longueur de la droite ci-dessus de O à GR, à Re (ou O-Re) donne pour la même direction et le même rapport AxGRAI et AyGRAI, l'accélération maximale avant Renversement de côté.

La longueur O-Re doit être plus grande que la longueur O-GR pour éviter le renversement. On peut donc déterminer une marge de sécurité contre le renversement correspond au surplus de O-Re par rapport à O-GR.

La droite limite avant Renversement est donnée par:

XRenv = AxRenv - ( AxRenv / AyRenv ) * YRenv

La droite O-Gr est donnée par:

YGr = ( AyGRAI / AxGRAI ) * XGr

Ou:

XGr = ( AxGRAI / AyGRAI ) * YGr

L'intersection des deux droites est obtenue au point Re, où XRe = XRenv = XGr et YRe = YRenv = YGr.

Ainsi on peut insérer les secondes équations dans la première pour obtenir:

XRe = AxRenv - ( AxRenv / AyRenv ) * ( AyGRAI / AxGRAI ) * XRe

D'où:

XRe = AxRenv / [ 1 + ( AxRenv / AyRenv ) * ( AyGRAI / AxGRAI ) ]

De même:

XRe = AxRenv - ( AxRenv / AyRenv ) * YRe = ( AxGRAI / AyGRAI ) * YRe

D'où:

YRe = AxRenv / [ ( AxGRAI / AyGRAI ) + ( AxRenv / AyRenv ) ]

D'où la marge de sécurité contre le renversement selon le critère du GRAI:

MargeGRAI = [( ORe / OGr ) - 1] en pourcent
= {[ RACINE( XRe^2 + YRe^2 ) / RACINE( AxGRAI^2 + AyGRAI^2 ) ] - 1 } en pourcent

 

F) Calcul de la marge MINIMALE de sécurité contre le renversement:

Il ne suffit pas de prendre la marge de sécurité contre le renversement dans un cas particulier où par exemple Ax/g est nulle.

La marge de sécurité contre le renversement varie, dépendant du couple de valeurs Ax/g et Ay/g. Il faut donc déterminer la marge de sécurité MINIMALE contre le renversement.

Sur le graphique plus haut en trait vert, la droite de marge MINIMALE de sécurité contre le renversement apparaît.

On constate sur ce graphique que la marge de sécurité contre le renversement est toujours positive dans le cas du 3-Roues Coop-2000 décrit précédemment. On constate aussi que dans le cas avec deux passagers mâles du 95ième percentile, cette marge est de 14,2%.

 

G) Stabilité contre le piquage du nez des 3-Roues à traction avant:

Le problème du 'renversement vers l'avant' ou 'piquage du nez', en freinage maximal avec un 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices dont le centre de gravité est très avancé pour éviter le renversement latéral, n'a pas été traité par Valkenburgh-Klein-Szostak. Mais il est important de s'assurer d'une marge de sécurité contre le piquage du nez dans le cas de ces 3-Roues, pour s'assurer que leur centre de gravité ne soit pas 'trop' avancé.

Le calcul ci-dessous ne considère pas qu'au début du soulèvement de l'arrière, il n'y a que la masse arrière suspendue (excluant la roue arrière) qui empêche le soulèvement. Ce calcul considère plutôt que la suspension arrière est rigide et que la roue arrière se soulève en même temps que l'arrière du châssis, ce qui est inexact. Il faudrait donc éventuellement le compléter avec une simulation dynamique qui dépasse le contexte du présent site.

Pour simplifier, on considère ainsi que la décélération maximale avant basculement vers l'avant, a lieu lorsque le couple de 'basculage' vers l'avant dû à la décélération, égale le couple de retenue par le poids PVehiOccu(J) :

PVehiOccu(J) * (DécélérationBascul) * ZVehiOccu(J) = PVehiOccu(J) * (1g d'acc. gravitationnelle) * XVehiOccu(J)

D'où:

DécélérationBascul = ( - XVehiOccu(J)) / ZVehiOccu(J)

Dans le cas des premiers calculs pour le COOP-2000, la décélération maximale a été considérée égale à 0,85g = CfX. Ceci n'est vrai que si les trois pneus participent idéalement bien au freinage. Dans le cas où seules les roues avant participent au freinage (parce qu'il n'y a pas de frein sur la roue arrière pour éviter les tête-à-queue), la décélération maximale permise par l'adhérence des pneus, est telle que:

( PVehiOccu(J) * DécélérationMaxAdhérence ) = [ (PoidsStatiqueRouesAvant + PoidsTransféré) * CfX ]
= [PVehiOccu(J) * (EmpattementL + XVehiOccu(J)) / EmpattementL +
PVehiOccu(J) * DécélérationMaxAdhérence * ZVehiOccu(J) / EmpattementL] * CfX

Où on peut faire disparaître PVehiOccu(J), pour obtenir:

DécélérationMaxAdhérence = (EmpattementL + XVehiOccu(J)) / EmpattementL * CfX +
DécélérationMaxAdhérence * ZVehiOccu(J) / EmpattementL * CfX

DécélérationMaxAdhérence = (EmpattementL + XVehiOccu(J)) / EmpattementL * CfX /
( 1 - ZVehiOccu(J) / EmpattementL * CfX )

DécélérationMaxAdhérence = [EmpattementL + XVehiOccu(J)] * CfX / [ EmpattementL - ZVehiOccu(J) * CfX ]

On peut en profiter pour insérer les poids sur l'avant et l'arrière, de même que le pourcentage de poids restant sur la roue arrière, lors d'une telle décélération:

PoidsSurAvantEnKg = [PVehiOccu(J) * (EmpattementL + XVehiOccu(J)) / EmpattementL +
PVehiOccu(J) * DécélérationMaxAdhérence * ZVehiOccu(J) / EmpattementL]
PoidsSurArrièreEnKg = [PVehiOccu(J) *( -XVehiOccu(J)) / EmpattementL -
PVehiOccu(J) * DécélérationMaxAdhérence * ZVehiOccu(J) / EmpattementL]
PoidsSurArrièreEn% = (PoidsStatiqueArrière - PoidsTransféré) / PVehiOccu(J) En pourcent
= [PVehiOccu(J) * ( -XVehiOccu(J)) / EmpattementL -
PVehiOccu(J) * DécélérationMaxAdhérence * ZVehiOccu(J) / EmpattementL] / PVehiOccu(J) En pourcent
= [ ( -XVehiOccu(J)) - DécélérationMaxAdhérence * ZVehiOccu(J)] / EmpattementL En pourcent

Le Facteur de Sécurité est le rapport entre la limite de basculement vers l'avant et la limite d'adhérence longitudinale des pneus, soit:

FSAntiPiquage = ( DécélérationBascul / DécélérationMaxAdhérence)

Et finalement:

MargeAntiPiquage = ( FSAntiPiquage - 1 ) En pourcent

 

Dans le cas concret du 3-Roues Coop-2000 de 1985-1987 décrit précédemment, les calculs ont donné les résultats suivants :

On a donc une marge anti-piquage de 48,0% et 61,2% dans les pires cas avec un seul passager femelle du 5ième percentile et un seul passager mâle du 50ième percentile.

Les rapports de poids avant/arrière sont de 78/22 et 76/24 pour ces deux cas ci-dessus. On constate donc que ces rapports sont plus élevés que le rapport 70/30 correspondant à la limite de 70% du poids sur les roues avant, tel que spécifié par les nouveaux Règlements sur la sécurité des véhicules automobiles du Canada exigeant conformité à la Norme 505 . Pourtant, les marges de sécurité contre le piquage du nez sont positives telles qu'indiqué ci-dessus.

Encore une fois, il n'y a pas de raison d'imposer une telle limite de 70% du poids sur les roues avant.
Il n'y a pas de raison de traiter différemment le risque de renversement latéral (roulis) du risque de basculage vers l'arrière ou piquage du nez. Dans les deux cas:

- Il paraît plus opportun de considérer des points ou axes de renversement, basculage ou piquage du nez.
- Et de s'assurer d'un rapport adéquat entre la hauteur du centre de gravité véhicule-occupants et la distance horizontale entre ce centre de gravité et ces points ou axes, plutôt que d'un pourcentage de poids sur les roues avant.

 

[ Carte du présent site sur les 3-Roues ]     [ Page suivante au même niveau ]

Index 3-Roues ] Remonter d'un niveau ] 4.1AnalyseVisuelleSimpleStabilité ] 4.2LogiqueDerrièreAnalysesMathématiques ] [ 4.3Stabilité3RouesTractionAvant ] 4.4Stabilité3RouesMoteurTractionArrière ] 4.5RésuméMargesSécurité ]

 
Le contenu de ce site demeure l'entière propriété de Pierre M. Ethier. Tous droits réservés.
L'information sur ce site est présentée pour le bénéfice des lecteurs. Une attention particulière a été apportée à couvrir de nombreux sujets reliés aux 3-Roues et à rendre les textes et illustrations aussi clairs que possible pour aider à mieux comprendre. Mais les lecteurs gardent l'entière et exclusive responsabilité de l'application et des essais de toutes recommandations, théories, suggestions... Ainsi, Pierre M. Ethier ne peut pas être tenu responsable pour quelque incompréhension ou quelque conséquence que ce soit résultant de l'utilisation de cette information. 
Envoyer toutes questions, remarques, blagues ou suggestions d'additions à pierre.ethier@clevislauzon.qc.ca ou à Pierre M. Ethier, 2120 Du Foulon, App. 8, Sillery, Québec, Canada, G1T 1X4